La Álgebra Booleana.
El británico George Boole (1815-1864), por su parte, fue un destacado matemático que está considerado como uno de los pioneros en el desarrollo de las ciencias de la computación . Sus aportes teóricos dieron lugar a la especialización que se conoce como álgebra de Boole o álgebra booleana. Es más, incluso se le atribuye a este matemático y lógico británico ser el padre de lo que son los operadores lógicos simbólicos. Por eso, para muchos especialistas, sin lugar a dudas, gracias a ello hoy se puedan realizar todo tipo de operaciones lógicas, sí gracias a elementos de tipo simbólico.
Boole propuso un esquema o sistema para la expresión simplificada de problemas lógicos a través de dos estados (falso o verdadero) mediante un procedimiento matemático. A esta estructura se la denomina álgebra booleana.
A través del sistema ideado por Boole, se utilizan símbolos para el desarrollo de las operaciones lógicas “SI”, “NO”, “O” e “Y” (o “YES”, “NOT”, “OR” e “IF” en inglés), que de este modo pueden esquematizarse. Este es uno de los pilares de la aritmética computacional y de la electrónica.
Puede decirse que el álgebra booleana apela a nociones algebraicas para el tratamiento de enunciados de la lógica proposicional. Las operaciones más habituales son las binarias, que requieren de dos argumentos. Se llama conjunción lógica al resultado verdadero que se obtiene cuando los dos enunciados son verdaderos: si A es verdadero y B es verdadero, la conjunción de A y B será verdadera.
Compuertas Lógicas
Las compuertas lógicas son dispositivos que operan con aquellos estados lógicos mencionados en el punto anterior. Pueden asimilarse a una calculadora, por un lado ingresas los datos, la compuerta realiza la operación lógica correspondiente a su tipo y finalmente, muestra el resultado de algún display.
A continuación, se mostraran algunos ejemplos de Compuertas Lógicas:
1. Compuerta AND.
Esta compuerta esta representada por una multiplicación en el algebra de Boole. indica que es necesario que todas sus entradas se tenga un estado binario 1 para que su salida otorgue un 1 en binario, En caso contrario de que falle una de sus entradas con este estado o no tenga siquiera una accionada, la salida no podrá cambiar de estado y permanecerá en 0.
2. Compuerta OR
Esta compuerta en el Algebra de Boole es una suma, esta compuerta permite que con cualquiera de sus entradas que estén en estado binario 1, su salida pasara a un estado 1 también. No es necesario que todas sus salidas estén accionadas para conseguir un estado 1 a la salida pero tampoco causa ningún conveniente. Para lograr in estado 0 a la salida todas sus entradas deben estar en el mismo valor 0.
3. Compuerta NOT
En este caso esta compuerta solo tiene una entrada y una salida y esta actúa como un inversor. Para esta ocasión en la entrada se coloca un 1 y en la salida ortigará un 0 y en caso contrario esta recibirá un 0 y entregara un 1.
También es conocida como AND negada, esta compuerta trabaja al contrario de una AND ya que al no tener entradas en 1 o solamente alguna de ellas, esta concede un 1 en su salida, pero si esta tiene todas sus entradas en 1 la salida se presenta como un 0.
5. Compuerta NOR
Así como vimos anteriormente, la compuerta OR también tiene su versión inversa. Esta compuerta cuando tiene sus entradas en estado 0 su salida estará en 1, pero si alguna de sus entradas pasa a un estado 1 sin importar em qué posición, su salida será un estado 0.
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Leyes del Álgebra Booleana
Álgebra de Boole, rama de las matemáticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al álgebra ordinaria. Es útil, entre otras cosas, para la lógica y para la teoría de conjuntos.
1. Ley de la identidad: Esta primera ley tiene que ver con la ley de la identidad planteada por Parménides de Elea. Se enuncia diciendo que una proposición es idéntica así misma, se implica así misma o se incluye así misma. Esquemáticamente se formaliza:
a) p ® p º 1
b) p « p º 1
2. Ley de la Conmutación : En esta ley las variables cambian de ubicación, manteniendo su valor y la conectiva no es modificada. Es imposible aplicar la ley de la conmutación al implicador pues este presenta una relación de antecedente y consecuente; con excepción de esta conectiva las demás conectivas son afectas a esta ley. Esquemáticamente se formaliza:
a) p Ù q º q Ù p
b) p Ú q º q Ú p
c) p Ú q º q Ú p
d) p « q º q « p
e) p ¯ q º q ¯ p
f) p / q º q / p
3. Ley de la asociación: En esta ley las variables pueden ser agrupadas de acuerdo a la conveniencia de la operación a realizar. Las conectivas posibles de asociar son: la conjunción, la disyunción y la biimplicación.
a) p Ù (q Ù r) º (p Ù q) Ù r
b) p Ú (q Ú r) º (p Ú r) Ú q
c) p Ú (q Ú r) º (p Ú q) Ú r
d) p « (q « r) º (p « r) « q
4. Ley de Morgan (Ù) (Ú). Esta ley nos dice que si negamos una disyunción, esta negación equivale a la conjunción de los dos miembros negados de la disyunción; de igual manera la negación de una disyunción es lo mismo que la conjunción de los miembros negados de la disyunción; en síntesis dirían lo siguiente:
no (p o q) es lo mismo que (no-p y no-q)
no (p y q) es lo mismo que (no-p o no-q)
Formalmente se representa así:
a) -(p Ú q) º - p Ù -q
b) -(p Ù q) º -p Ú -q
En síntesis esta ley es una multiplicación por menos que sólo es aplicable a la conjunción, cuya negación es la disyunción incluyente, y a la disyunción incluyente, cuya negación es la conjunción. También es importante tener en cuenta que sólo con esta ley; nosotros podemos eliminar o colocar un negador externo.
5. Ley de la distribución: En esta ley una variable (caso “a” y caso “b” ) se distribuye junto con su conectiva con las variables que se encuentran dentro del paréntesis y la conectiva que se encuentra dentro del paréntesis pasa a ser la conectiva principal en el producto de la distribución. En el caso “c” son dos pares que se distribuyen; escogemos el primer par para no distribuirlo , el cual hemos subrayado, el segundo los distribuimos.
a) p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ù r)
b) p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Ú r)
c) (p Ù q) Ú (-p Ù q) º [(p Ù q) Ú -p] Ù [(p Ù q) Ú q]
6. Ley de la absorción: Para poder aplicar esta ley debe existir una variable absorbente que es exactamente igual la que esta dentro y fuera del paréntesis (caso “a” y caso “b”), luego observar que las conectivas deben ser opuestas si la conectiva que se encuentra dentro del paréntesis es una disyunción incluyente, la se encuentra fuera del paréntesis debe de ser una conjunción, si esto se cumple entonces podemos aplicar la ley de la absorción, la otra variable pasa a ser la variable absorbida que puede ser cualquier variable (menos la variable absorbente) afirmada o negada la cual desaparece y sólo queda la variable absorbente. En el caso “c” realmente no es la absorción propiamente dicha, sino que es un artificio que nos permite simplificar el esquema rápidamente, aquí observamos que la variable que debió ser la absorbente es diferente, una de ellas se encuentra negada, en este caso eliminamos la variable que debió haber sido la absorbente que se encuentra dentro del paréntesis junto con su conectiva; luego nos queda la variable que se encuentra fuera del paréntesis y su conectiva y la otra variable que en condiciones normales debió ser la absorbida.
Se esquematiza:
a) p Ù (p Ú q) º p
b) p Ú (p Ù q) º p
c) p Ù (-p Ú q) º p Ù q
7. Ley de la doble negación: Esta ley que también es una ley de implicación; es la ley de los signos del “menos por menos”, aquí la clave es contar el número de negadores; si el número de negadores es par, luego estamos frente a una afirmación. Y si el número de negadores es impar, luego estamos frente a una negación.
Se esquematiza:
p º ~(~p)
8. Ley de la implicación material: Algunos le llaman definición del implicador, cosa que no es correcto, pues todas las leyes presentes son definiciones, luego por la generalidad resulta ser inexacto. En esta ley una implicación es definida hacia una disyuntiva, para hacerlo negamos el antecedente, la implicación la cambiamos por un a disyunción y el consecuente lo afirmamos, es decir lo dejamos tal como esta. Pero como se trata de una equivalencia entonces podemos transformar una disyunción incluyente en una implicación, siguiendo las mismas pautas.
Se esquematiza:
p ® q º -p Ú q
9. Ley de la contraposición o contrarrecíproca: En esta ley de la proposición “p” se desprende “q” y de la negación de la proposición “q” se desprende la negación de la proposición “p”. Digamos que en esta ley se conmutan el antecedente por el consecuente pero a la vez invertimos sus valores.
Esquemáticamente se formaliza:
p ® q º -q ® -p
10. Ley de la transposición: En esta ley el procedimiento es exactamente igual a la contraposición, incluso incluye a la implicación, diremos que la ley de contraposición es una ley especifica que sólo se aplica al implicador, en cambio esta ley de la transposición es una ley general que aplica, además de la implicación, al disyunción excluyente y a la biimplicación.
Se esquematiza:
a) p Ú q º -q Ú -p
b) p « q º -q « -p
c) p ® q º -q ® -p
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Arboles y Grafos
Se refiere a estructuras de datos que permiten organizar y mantener información en un computador. Esta forma se inspira una forma de organizar información con lápiz y papel usando nodos y flechas entre los nodos (a esas flechas también se les llama arcos, a los nodos también se les llama vértices). Los grafos y árboles en papel son apropiados por ejemplo para capturar sólo una parte de la información de objetos, situaciones y otros tipos de información (i.e son apropiados para abstraer).
En un computador además de permitir organizar información, resultan estructuras útiles para resolver ciertos tipos de problema (por ejemplo pueden emplearse árboles AVL para mantener información ordenada de forma eficiente).
En un computador además de permitir organizar información, resultan estructuras útiles para resolver ciertos tipos de problema (por ejemplo pueden emplearse árboles AVL para mantener información ordenada de forma eficiente).
Para jugar, entender y emplear mejor grafos (y árboles) varias personas (e.g Euler) han propuesto definiciones; a partir de estas definiciones y con ayuda de razonamientos lógicos han demostrado propiedades. Un mínimo de definiciones y de propiedades de grafos y árboles se presenta a continuación.
Árbol
En ciencias de la informática, un árbol es una estructura de datos ampliamente usada que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puede haber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz. Un nodo que no tiene hijos se conoce como hoja. Los demás nodos (tienen padre y uno o varios hijos) se les conoce como rama.
En ciencias de la informática, un árbol es una estructura de datos ampliamente usada que imita la forma de un árbol (un conjunto de nodos conectados). Un nodo es la unidad sobre la que se construye el árbol y puede tener cero o más nodos hijos conectados a él. Se dice que un nodo a es padre de un nodo b si existe un enlace desde a hasta b (en ese caso, también decimos que b es hijo de a). Sólo puede haber un único nodo sin padres, que llamaremos raíz. Un nodo que no tiene hijos se conoce como hoja. Los demás nodos (tienen padre y uno o varios hijos) se les conoce como rama.
Un árbol se define como un tipo de grafo que no contiene ciclos, es decir es un grafo también acíclico, pero a su vez es conexo. Tal es el caso de los siguientes dos grafos en donde se puede notar que ninguno de los dos contiene repeticiones (ciclos).
Bosques de árboles.Los bosques de árboles son un caso similar a los árboles, son acíclicos, pero no son conexos.
Bosques de árboles.Los bosques de árboles son un caso similar a los árboles, son acíclicos, pero no son conexos.
Grafos.
Un grafo significa tratar de alcanzar todos los nodos que estén relacionados con uno que llamaremos nodo de salida. Existen básicamente dos técnicas para recorrer un grafo: el recorrido en anchura; y el recorrido en profundidad.
•Recorrido en anchura: El recorrido en anchura supone recorrer el grafo, a partir de un nodo dado, en niveles, es decir, primero los que están a una distancia de un arco del nodo de salida, después los que están a dos arcos de distancia, y así sucesivamente hasta alcanzar todos los nodos a los que se pudiese llegar desde el nodo salida.
•Recorrido en profundidad: el recorrido en profundidad trata de buscar los caminos que parten desde el nodo de salida hasta que ya no es posible avanzar más. Cuando ya no puede avanzarse más sobre el camino elegido, se vuelve atrás en busca de caminos alternativos, que no se estudiaron previamente.
Teoría de Grafos
gracias por la informacion
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